Sotto terra la gravità è più forte?

La risposta più intuitiva sembra essere “sì”. La gravità attira i corpi verso il centro della Terra, quindi se andiamo più vicini al centro, l’attrazione sarà maggiore, no? In fondo se ci allontaniamo dalla Terra la forza di gravità è minore, quindi se siamo in metropolitana la gravità sarà maggiore? Preannunciando che la risposta è “no” e che questa intuizione non è corretta, andiamo a cercare di capire quali siano le ragioni di tale risposta. 

Come in qualunque buon approccio fisico, trattiamo la questione nel caso più semplice possibile, per poi andarla a complicare nel caso ve ne fosse la necessità, e consideriamo una Terra perfettamente sferica (invece che geoidale) ed il corpo che subisce la forza come se fosse un punto in cui sia concentrata tutta la sua massa.

In queste condizioni, se un corpo si trova all’esterno della nostra Terra, subirà un’attrazione gravitazionale data dalla legge di gravitazione di Newton

Dove G è la Costante di Gravitazione Universale, avente un valore ben definito e fisso. Che significa questa formula? Visto che le masse e la costante G sono fissate, l’unica cosa che può cambiare (l’unica variabile) è il valore della distanza dal centro della Terra: si dice allora che la forza di attrazione gravitazionale si riduce come il quadrato della distanza, ossia più la massa del corpo m è lontana dal centro della Terra, molto meno intensa sarà la forza con cui la Terra attrae il corpo. E significa anche che tutta la massa della Terra agisce sul corpo come se fosse concentrata in un punto al centro della Terra.

Il prodotto GxMassa della Terra/quadrato della distanza fornisce quella che viene chiamata accelerazione gravitazionale g, che sulla superficie terrestre in media è pari a 9.81 m/s^2.

Questa legge, nel caso di terra perfettamente sferica, è valida sicuramente dalla superficie terrestre fino ad una distanza infinita da essa (in realtà dopo poco la forza diventa così piccola da essere del tutto ininfluente). Ma se proviamo a far entrare il corpo all’interno della Terra, supponendo che questo si possa trovare a qualunque profondità mantenendosi integro, come possiamo ragionare per calcolare la forza di gravità?

L’attrazione gravitazionale subita da un corpo è data dalla somma delle attrazioni gravitazionali generate dalle masse che lo circondano, quindi possiamo separare l’attrazione generata dalla Terra in due contributi diversi e poi sommarli, ottenendo così la forza di gravità totale. Un contributo sarà quello generato dalla porzione sferica di Terra che si trova ad una profondità maggiore del corpo, mentre l’altro sarà quello che ha una profondità minore. Ad esempio, se il nostro corpo si trovasse a 1400 km di profondità, dato che la Terra ha un raggio di 6400 km, possiamo considerare una sfera interna avente 6400-1400=5000 km di raggio ed un guscio sferico che è dato dalla restante porzione di Terra. Sommando la forza di gravità generata da queste due porzioni di Terra sul corpo, otteniamo la forza totale che il corpo subisce.

Per la sfera interna il ragionamento è semplice: è esattamente lo stesso caso del corpo esterno alla Terra sferica, variando solamente la dimensione della sfera, quindi possiamo di nuovo applicare la legge di gravitazione universale di Newton per determinare questo contributo. Siccome in questo caso la sfera avrà un raggio minore del raggio terrestre, l’accelerazione gravitazionale che possiamo calcolare avrà un valore minore.

Per quanto riguarda il guscio esterno, invece, la cosa si fa più complicata ma possiamo andare incontro all’intuizione attraverso questa potente simulazione grafica.

La porzione viola in alto del guscio sferico attrarrà verso l’esterno il nostro corpo, così come quella rossa in basso, ma le due lo attraggono in due direzioni opposte e, sebbene la porzione rossa sia più lontana dal corpo rispetto a quella viola, è anche molto più grande, facendo sì che, conti alla mano, l’attrazione gravitazionale del viola e del rosso si compensino perfettamente, annullandosi. Dobbiamo immaginare di ripetere questa operazione per ogni punto del guscio sferico, così ottenendo il risultato intuitivamente sorprendente: il guscio sferico non genera alcuna attrazione gravitazionale, e solo la massa interna della Terra la genera.

Di conseguenza, questa è la risposta alla domanda iniziale: se andiamo sotto Terra, la forza di gravità aumenta? La risposta è no, perché solo la massa interna conta, e quindi più andiamo in profondità, più l’attrazione gravitazionale è debole. Il punto finale è il centro della Terra, dove il corpo potrebbe starsene fermo senza subire alcuna accelerazione, in quanto la simmetria del problema fa sì che esso venga tirato ugualmente in tutte le direzioni, come in un tiro alla fune in cui tutti i concorrenti hanno la stessa forza ed il centro della corda resta perciò fermo.

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