Forma dell’Universo: un’introduzione

“Spiegare un singolo fenomeno può coinvolgere molte, se non tutte, leggi fondamentali [della Fisica]. Forse, il primo problema in Fisica che l’Uomo ha provato a risolvere per pura curiosità, il cielo notturno: perché appare proprio in questo modo. È notevole come anche la più cruda, vera, spiegazione, già richiede tutte le leggi fondamentali conosciute oggi. Per spiegare il fatto che è nero e non bianco: la Relatività Generale. I colori delle stelle: la Termodinamica. Perché [le stelle] non si estinguono: la Fisica Nucleare. Aurore, tuoni, fulmini e molti altri fenomeni: Elettricità e Magnetismo.”

– David Deutsch, “The Unity of the Universe” –

Il titolo di questo articolo è volutamente vago: sebbene sia piuttosto intuitivo pensare all’eventuale forma, su larga scala, dell’universo, in realtà si scopre presto che una serie di caveat vanno precisati per affrontare in modo più rigoroso la questione.

Innanzitutto è bene ricordare che per Universo si intende l’insieme di spazio, tempo e ciò che è contenuto in essi. È fuorviante pensare all’universo come ad un contenitore, ma piuttosto si pensa come il contenuto stesso. D’altra parte si deve sottolineare il fatto che l’Universo si può concettualmente dividere come osservabile e non, per questo motivo le teorie sulla forma globale dell’Universo vengono confrontate con il dato osservabile, che però, a priori, non rappresenta tutto.

Chiedersi a questo punto quale sia la forma dell’Universo è in primis un problema di aggiustare, in maniera fisicamente sensata, la domanda: infatti non sappiamo che senso dare alla frase “Qual è la forma dell’Universo in questo momento?”, poiché il concetto stesso di simultaneità temporale è qualcosa che dipende dal punto di osservazione, come ci insegna la Relatività Ristretta. La soluzione è data allora dalla scelta di un sistema di coordinate, chiamate comoventi, le quali spazialmente assegnano coordinate costanti ad osservatori che percepiscono l’universo come isotropo, ovvero uniforme in tutte le direzioni. Per questo motivo, galassie che si allontanano, per via dell’espansione dell’universo, sono comoventi e in questo sistema di riferimento la loro distanza rimane costante. Dal punto di vista temporale, si definisce il tempo comovente come il tempo misurato da un osservatore comovente. E’ in questo sistema di riferimento che la nostra domanda prende forma.

Una nota importante, per onestà intellettuale, è che tutto ciò si basa su un modello di Universo che dipende sia da teoria prettamente fisico/matematiche, ma anche da assunzioni filosofiche circa la natura di ciò che osserviamo: in particolare infatti, il principio cosmologico, il quale dice che l’universo è isotropo e omogeneo sulle grandi scale rispetto a qualunque osservatore, è un assunto essenziale che non è esente da critiche, e.g. Popper.

Dalla Relatività Generale si ha una formulazione matematica dell’Universo come una 4-varietà lorentziana, cioè pseudo-riemanniana con un tensore metrico di tipo (3,1). Prima di continuare chiariamo cosa si intende per tale oggetto. Una 4-varietà è, grossolanamente, un oggetto che localmente risulta essere uno spazio 4-dimensionale (si pensi ad R^4) con una struttura euclidea (si immagini come un diretto analogo del piano o dello spazio tridimensionale), nel senso che, a meno di movimenti continui, essi si possono identificare: in particolare si ha un sistema di coordinate locali dato dalle usuali coordinate quadridimensionali. L’aggettivo “riemanniana” si riferisce ad una struttura metrica data su questa varietà, ovvero una struttura che permetta di misurare sulla varietà.

Inevitabilmente ciò fa un po’ storcere il naso, si potrebbe osservare che infatti noi misuriamo distanze ogni giorno, qui sulla terra, e non ci preoccupiamo minimamente di cercare ogni volta la metrica riemanniana associata alla varietà terrestre. D’altra parte però è anche vero che il modo in cui noi misuriamo le distanze è dato dal fatto che assumiamo che la Terra si trovi in una porzione di spazio tridimensionale “piatto”, nel senso di euclideo: quello classico. La distanza classica a questo punto induce una nozione di distanza sulla Terra. Ma dal momento che vogliamo studiare quale sia la metrica dell’Universo e dal momento che non possiamo riferirci a null’altro che esso stesso, per forza di cose dobbiamo riferirci alla metrica riemanniana che usiamo per il modello. Questo tipo di studio viene detto appunto Intrinseco. Matematicamente parlando questa metrica è un tensore che determina, punto per punto, il modo in cui le distanze vengono calcolate a livello infinitesimale e che globalmente varia in maniera liscia. Per chi ha delle nozioni di analisi: questo è un processo analogo alla interpretazione geometrica della derivata. Non ci si deve quindi stupire se, volendo dare una struttura con la quale misurare distanze (ad esempio), su uno spazio che non sappiamo come sia fatto, si ricorra al concetto intrinseco di studiare a livello infinitesimale lo spazio: è ciò che da la struttura metrica.

A questo punto va notato che l’Universo che vogliamo usare per determinarne la forma, una volta usate le coordinate comoventi, diventa la sezione spaziale della 4-varietà che abbiamo appena introdotto.

Vogliamo dare quindi un senso a ciò che intuitivamente abbiamo come modello di curvatura: se ci troviamo su una superficie immersa nello spazio tridimensionale, abbiamo un concetto naturale di curvatura, basti pensare alla Terra e paragonarla eventualmente con una sfera di raggio minore o maggiore. Oppure un cilindro verticale (cioè con alla base una circonferenza), che si curva orizzontalmente, ma non verticalmente. La curvatura gaussiana è quindi lo strumento matematico che viene principalmente usato per classificare le superfici: ciò è dovuto soprattutto al Theorema Egregium di Gauss, il quale implica che la curvatura gaussiana è una quantità intrinseca della superficie e dipende quindi solamente dalla sua struttura metrica.

Per le varietà riemanniane in dimensione più alta non abbiamo un modello così intuitivo per la curvatura, per questo motivo sono state date diverse definizioni di curvatura per un tale spazio. Un piccolo esperimento mentale chiarisce quello che è il concetto chiave: ci si trova inizialmente su un piano e si tiene in mano una bacchetta posizionata in maniera tangente al piano, ci si vuole spostare da un punto a ad un punto b, e ritorno, in modo tale che la bacchetta rimanga parallela lungo tutto il tragitto; si nota che la posizione della bacchetta dall’inizio alla fine del processo rimane identica; se si ripete l’esperimento su una superficie sferica, si noterà che, in base al percorso, la bacchetta tornerà in una posizione diversa da quella iniziale, seppure è stata sempre tenuta parallela durante il tragitto. Questo concetto è fortemente legato a ciò che in Matematica è la derivata covariante. Viene quindi definito un tensore di curvatura di Riemann,    ,che misura proprio la fallibilità della varietà dal comportarsi localmente come uno spazio piatto. Per capire meglio il carattere intrinseco di questo studio della curvatura, può essere utile notare come il trasporto parallelo di un vettore tangente, come abbiamo visto prima con l’esperimento mentale, sia effettivamente legato al concetto di geodetica, ovvero quelle curve che preservano il vettore durante il trasporto parallelo: sulla sfera le geodetiche sono i cerchi di massima ampiezza.

Arriviamo quindi al punto finale: fino a che punto le nozioni locali che abbiamo determinano in maniera globale la forma della varietà? 

Questa domanda è di ampio respiro: già nel caso delle superfici vi sono delle classificazioni in base al tipo di curvatura e già nel caso di curvatura identicamente nulla non c’è solo il piano tra i figuranti, ma anche altre superfici come cilindri e coni. Detto questo si può immaginare che la classificazione delle varietà con data curvatura sia un tema aperto e che le possibili classificazioni includono, all’aumentare della dimensione, molti più candidati per ogni caso.

Tra i più citati esperimenti per venire a capo della curvatura spaziale, c’è l’esperimento Planck (2015) che ha trovato come, a meno di un errore sperimentale, il calcolo sia consistente con un universo piatto: il quale, rimandando all’accenno sulla classificazione appena prima, sappiamo non dare un risultato definitivo sulla forma su grande scala, ma che ci da invece informazioni di tipo locale.

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Immagini Usate:

1. Flammarion Engraving
2. NASA: Radiazione cosmica di fondo 
3. Espansione dell’universo, tempo cosmologico
4. Equazione di campo di Einstein
5. Curvature di superfici: in questo caso omega è da interpretare come il parametro di densità
6. Trasporto parallelo su geodetiche della sfera