L’ABC della Relatività Generale: le basi, i buchi neri, le onde gravitazionali

La Relatività Generale, una delle opere d’arte della scienza del XX secolo, nonché una delle teorie più temute da chi non la conosce: è davvero così complessa? La risposta è sì e no: perché ogni grande Teoria lo è e la sua trattazione completa richiederebbe di entrare in un complesso formalismo matematico, ma non per questo è proibito addentrarsi nei meandri dei suoi assunti base e delle sue derivazioni sulle strutture che popolano l’universo.

La genesi della Teoria

Per parlare di Einstein, è necessario partire da Newton. Newton ha infatti posto le basi per la meccanica classica, ed in particolare la sua Legge di Gravitazione Universale è ancora oggi la migliore approssimazione per lo studio del moto della maggior parte dei corpi celesti: una delle verifiche più eclatanti di questa Legge è stata senz’altro la scoperta di Nettuno. Utilizzando infatti la meccanica newtoniana per studiare il moto di Urano, c’era qualcosa che mancava e che faceva sì che si creasse una discrepanza tra le osservazioni e le predizioni. Quel qualcosa si chiama Nettuno, la cui orbita perturbava quella di Urano, creando tale discrepanza. Fantastico, a cosa serve allora la Relatività se Newton aveva descritto tutto così bene?

I problemi insorgono quando tentiamo di usare la meccanica newtoniana per descrivere non i grandi giganti ghiacciati, ma quando tentiamo di usarla per descrivere il moto dei corpi più vicini al Sole, ed in particolare di Mercurio. Già nel 1845 Le Verrier aveva scovato delle anomalie nel moto di Mercurio: il suo perielio (il punto dell’orbita più vicino al Sole) si trovava ogni secolo circa 35 secondi d’arco (una frazione di grado) più in avanti di quanto previsto da Newton. Questa fu la prima avvisaglia di qualcosa che non andava.

Einstein tra il 1907 ed il 1915 portò avanti la sua nuova teoria gravitazionale, un vero e proprio terremoto scientifico. Oltre a risolvere il mistero della precessione del perielio di Mercurio, la Relatività Generale prediceva una serie di fenomeni, come le Onde Gravitazionali ed i Buchi Neri, che ne hanno confermato la validità in via sperimentale.

La semplicissima rappresentazione dell’universo come un tessuto bidimensionale deformato dalla presenza della massa.

La Relatività Generale è una descrizione geometrica di come si comporta lo spazio-tempo in presenza di una massa (e dell’energia, ma qui ci riferiremo alla sola massa per semplificare la trattazione). Questa presenza farebbe infatti sì che lo spazio circostante si curvi e il tempo scorra più lentamente. Classicamente per visualizzare questo effetto si utilizza un telo teso, sebbene questo abbia una dimensione spaziale in meno dello spazio reale. Ponendo una massa al centro del telo, questo si incurverà verso l’interno, e mettendo una massa più piccola in rotazione sulla curvatura, questa continuerà ad “orbitare” attorno alla massa centrale. Trasponendo il concetto nello spazio tridimensionale (in questo breve video è possibile averne una rappresentazione), i corpi non fanno altro che seguire la curvatura imposta da tale massa e la gravità è quindi ridotta ad un effetto geometrico. Inoltre, la curvatura coinvolge anche il tempo (la quarta dimensione dello spazio), che scorre più lentamente in presenza di una massa.

Oltre ad una più precisa definizione dell’orbita di Mercurio, la prima evidenza sperimentale della Relatività Generale fu l’osservazione diretta della deformazione dello spazio-tempo da parte di Eddington. Nel 1919 questi osservò durante un’eclissi totale di Sole che la luce proveniente da una stella posta proprio sul bordo del disco solare subiva una deformazione della traiettoria, a causa della deformazione dello spazio-tempo generata dalla presenza della nostra stella. Questa lastra fotografica è proprio quella con cui Eddington svolse questo esperimento.

Il Principio d’Equivalenza

Il Principio di Equivalenza si può postulare nel modo seguente: “in un campo gravitazionale, si può sempre scegliere un sistema di riferimento in cui le leggi della fisica sono le stesse che si avrebbero in assenza di gravità“. Un esempio classico che viene fatto per spiegare questa affermazione è quello dell’ascensore: se un uomo si trova in un ascensore chiuso nello spazio, non ha modo di sapere se la forza che percepisce è dovuta ad attrazione gravitazionale o ad una forza esterna che agisce sull’ascensore. In altri termini, se foste chiusi in questo ascensore, tutto ciò che osservereste nel caso in cui questo fosse accelerato da una forza, è indistinguibile da ciò che osservereste se questo fosse posto in quiete in un campo gravitazionale.

Numericamente, questo principio si traduce nell’uguaglianza tra la massa detta inerziale (quella che determina quanto un corpo viene accelerato in seguito all’applicazione di una forza) e la massa gravitazionale (quella che determina l’attrazione gravitazionale esercitata e subita). Proprio grazie a questa equivalenza i corpi sulla Terra cadono con la stessa velocità verso il centro della Terra (ricordate il famoso esperimento di Galileo dalla Torre di Pisa?). Se non valesse questa equivalenza, la velocità con cui i corpi cadono dipenderebbe dalla loro massa gravitazionale, e sarebbe quindi possibile distinguere l’effetto dell’attrazione gravitazionale rispetto a quello di una forza esterna.

Questo principio ha conseguenze enormi, e si applica alla sola forza di gravità, che può essere quindi dimenticata se ci mettiamo in determinati sistemi di riferimento. Meglio ancora, possiamo non trattarla come forza se consideriamo che i suoi effetti siano solamente frutto della geometria dello spazio-tempo, deformata dalla presenza delle masse.

Una semplice schematizzazione del Principio di Equivalenza. L’uomo non ha modo di sapere in quale delle due situazioni si trova.

Due esperimenti mentali possono venirci in aiuto per capire un po’ meglio le conseguenze di questo Principio.

La deviazione della luce

Prendiamo il nostro ascensore, ed immaginiamolo appeso ad un cavo nel campo gravitazionale terrestre. Sganciamolo nello stesso istante in cui viene lanciato un fotone al suo interno in direzione orizzontale. Grazie al Principio di Equivalenza, se noi siamo dentro l’ascensore, vedremo il fotone muoversi in linea retta orizzontale, in quanto essendo l’ascensore in caduta libera, noi osserviamo il suo moto come se fossimo in quiete. Un osservatore che invece assiste alla scena da terra (e che fosse in grado di vedere attraverso l’ascensore), vedrebbe la traiettoria del fotone incurvarsi verso il basso (per restare sempre allo stesso livello dell’ascensore in caduta). La traiettoria curva è il tragitto più breve che il fotone può percorrere nello spazio-tempo deformato dalla Terra, e questa traiettoria è detta geodetica.

Redshift gravitazionale e dilatazione del tempo

Stessa situazione di prima: un ascensore sospeso. Tuttavia in questo caso, sganciamo l’ascensore nel momento in cui il fotone viene lanciato verso l’alto al suo interno, dal pavimento al soffito, invece che in direzione orizzontale. Se misuriamo la frequenza della luce una volta che questa sia giunta sul soffitto, questa sarà invariata se la misuriamo dall’interno dell’ascensore in caduta libera, in quanto per il Principio di Equivalenza osserviamo il moto come se fossimo in assenza di gravità. Un osservatore da terra, vedrà la luce andare verso l’alto, e pertanto per effetto Doppler questo dovrebbe aumentare la sua frequenza (come la sirena dell’ambulanza nel momento in cui si sta avvicinando a noi, in questo caso al soffitto dell’ascensore dove misuriamo la frequenza). Tuttavia questo blueshift non si osserva, e pertanto ci deve essere un effetto contrario che lo compensa: viene detto redshift gravitazionale, ossia la riduzione di frequenza che si ha nel momento in cui il fotone si allontana dal campo gravitazionale.

L’origine di questo redshift gravitazionale è strettamente legata alla dilatazione del tempo quando ci si allontana dalla massa. Il tempo scorre infatti più lentamente più la massa deforma lo spazio-tempo circostante, e quindi se la luce si allontana dalla massa, oscillerà sempre più lentamente, dando origine al redshift.

Le equazioni di campo di Einstein

Dati tutti questi risultati, non restava quindi che formalizzarli matematicamente. Einstein allora elaborò delle equazioni, dette equazioni di campo, la cui soluzione descrive la curvatura dello spazio-tempo data una massa. Le equazioni hanno la seguente forma:

{\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}

Entrare nel dettaglio matematico di queste equazioni richiederebbe uno studio approfondito della Teoria e della matematica che va oltre lo scopo di questo articolo. Per i nostri scopi, ci basta sapere che sulla sinistra abbiamo degli elementi che descrivono la curvatura dello spazio-tempo e sulla destra abbiamo un elemento che descrive la distribuzione di massa ed energia.

Le soluzioni delle equazioni di campo forniscono la cosiddetta metrica dello spazio-tempo, ossia la sua struttura e di conseguenza il moto che i corpi seguono quando vi si muovono all’interno seguendone la geometria. La sfortuna è che queste equazioni sono molto complesse, e non possono essere risolte completamente se non in maniera approssimata o in alcuni casi molto particolari. Per esempio, non esistono soluzioni esatte per una coppia di masse, come un sistema stellare binario, sebbene si possano ottenere delle soluzioni approssimate.

La soluzione di Schwarzschild

Una delle poche soluzioni esatte che si possono ottenere è quella del caso di una singola massa sferica, non rotante e priva di carica elettrica. Questa è nota come Soluzione di Schwarzschild e vale per lo studio dello spazio-tempo all’esterno di questa massa. Sebbene non esista un corpo di questo tipo in quanto i corpi generalmente ruotano e non sono pertanto perfettamente sferici, tale soluzione è utile nella descrizione di moltissimi casi pratici. Un esempio su tutti? Predice molto bene l’orbita di Mercurio. La Soluzione di Schwarzschild descrive anche la dilatazione del tempo ed il redshift gravitazionale in maniera piuttosto buona.

Buchi neri

Un caso particolarmente interessante che deriva dalla Soluzione di Schwarzschild è quello dei buchi neri. Un buco nero è dato da una massa così compatta da essere considerabile come concentrata in un singolo punto, come nel caso dei residui massicci delle supernovae: in tale situazione lo spazio-tempo è talmente tanto incurvato, che la traiettoria dei fotoni emessi da questo punto non gli permette di “scappare”, restando intrappolati nel campo gravitazionale generato da tale punto. Per questo i buchi neri sono neri, perché la luce vi resta intrappolata all’interno, entro una distanza dal punto centrale detta raggio di Schwarzschild e il confine sferico delimitato da questo raggio è detto orizzonte degli eventi. Una cosa interessante da tenere a mente, è che un osservatore che entra in un buco nero, ammettendo che non venga distrutto dalle enormi forze in gioco, non noterebbe alcuna differenza al passaggio di tale raggio, mentre un osservatore esterno che lo guarda da lontano, lo vedrebbe avvicinarsi all’infinito all’orizzonte, senza mai arrivarci.

Onde gravitazionali

Muovendo una mano sul pelo dell’acqua si formano delle onde. Allo stesso modo, accelerando una massa e perturbando quindi la deformazione nello spazio-tempo che essa genera, in questa si originano delle increspature, che prendono il nome di onde gravitazionali. Quando queste onde si propagano nello spazio, lo deformano, facendolo allungare e contrarre ritmicamente. Come abbiamo fatto a misurare questi eventi? Siccome la luce impiegherà più tempo ad attraversare uno spazio allungato e meno tempo ad attraversarne uno crontratto, misurando il tempo che impiega ad attraversare due condotti tra loro perpendicolari, possiamo vedere se uno di questi è contratto rispetto all’altro. Proprio in questo modo funzionano i rivelatori di onde gravitazionali come LIGO e Virgo.

Un rappresentazione dell’evento che ha portato alla formazione delle onde gravitazionali rivelate per la prima volta nel 2016: due buchi neri in collisione.

Nonostante la lunghezza di questo articolo, abbiamo appena sfiorato la superficie della teoria della Relatività Generale. Se avete domande, commentate qui sotto oppure venite a proporcele nella nostra pagina o community Facebook!

Fonti:
Lecture Notes on General Relativity, Black Holes and Gravitational Waves
An Introduction to Modern Astrophysics

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