Le Fasce di Van Allen: particelle in bottiglia

Cosa sono le fasce di Van Allen? E soprattutto: come funzionano? Scopriamolo insieme approfondendo la fisica che c’è alla base.

Cosa sono?

Sono delle fasce di Radiazione ovvero delle regioni di spazio intorno la Terra popolate da elettroni e protoni veloci. Sono particelle che provengono dal Vento Solare catturate dal campo magnetico terrestre quando le linee del campo magnetico trasportato dal vento solare si connettono a quelle del campo magnetico terrestre. Solo le particelle con sufficiente energia riescono a fuggire, tutte le altre rimangono intrappolata nella Bottiglia Magnetica. Queste fasce hanno una densità molto bassa (poche particelle per cm3). Si tratta dunque di un plasma molto rarefatto.

Come funziona una Bottiglia Magnetica?

Dal Vetro al Campo Magnetico

Prendete una bottiglia, rigorosamente di vetro di qualsiasi bevanda voi preferiate. Ora immaginate che il vetro sparisca ed al suo posto ci siano le linee di un campo magnetico che corrono dal basso verso l’alto seguendone la superficie. Ecco a voi una bottiglia magnetica! In pratica qualsiasi campo magnetico in cui le linee di campo convergono verso una regione.
Una bottiglia magnetica ideale è una regione di spazio in cui è presente un campo magnetico uniforme costante in intensità e direzione, delimitata da due zone in cui diventa rapidamente più intenso perché le linee di forza convergono attraversando una superficie più piccola. Queste zone rappresentano proprio i colli della bottiglia.

Una Bottiglia Magnetica “Ideale”. Fonte: Wikipedia

Per questo motivo, qualsiasi magnete è in realtà una bottiglia magnetica, perché naturalmente ogni magnete presenta due zone in cui le linee di forza da che sono distanti lontane dal magnete convergono, addensandosi, verso i poli magnetici. Quindi sì, anche la Terra si comporta come una bottiglia magnetica!
Ciò che cambia rispetto alla versione ideale, è che un campo magnetico qualsiasi si comporta come una Matrioska di bottiglie magnetiche per particelle con energia via via maggiore. Proprio perché percorrendo le linee di forza il campo magnetico non è mai costante.

Grafico del Campo Magnetico [B]. Il gradiente di colori indica la Densità del Flusso di Campo Magnetico. Più tende al rosso, più le linee di forza sono addensate. Realizzato con FEMM4.2

La Forza Magnetica di Lorentz

Le particelle di cui sono composte le fasce di Van Allen si muovono descrivendo un’elica avvitata intorno alle linee del campo magnetico terrestre. Come abbiamo detto sono protoni ed elettroni, quindi particelle elettricamente cariche. Si comportano così perché sono soggette alla Forza di Lorentz, che è la vera e propria forza magnetica. Essa dipende, oltre che dalla carica elettrica della particella, anche dalla sua velocità (v) e dall’intensità del campo magnetico (B) in cui si muove. E’ una forza che agisce in una direzione perpendicolare contemporaneamente a quella della velocità ed a quella del campo magnetico.

Quindi se v e B sono paralleli, la Forza Magnetica è nulla. Mentre, se v e B non sono paralleli, possiamo scomporre v in due velocità: una di rotazione (vr sempre perpendicolare a B ) ed una di traslazione (vt sempre parallela a B). Delle due, solo la vr contribuisce a generare la Forza di Lorentz. Questo è il motivo per cui agisce come forza centripeta, portando la particella ad orbitare intorno la linea del campo magnetico che attraversa. Non contribuisce a fornire energia al moto della particella, ma ne fa solo cambiare la direzione.

La distanza fra la particella ed il centro della rotazione viene chiamata “raggio di Larmor“, dal nome del fisico che lo descrisse per la prima volta.
Attraverso la velocità della particella è possibile definire la sua energia cinetica. Ed usando la stessa scomposizione di prima, possiamo descrivere i contributi all’energia cinetica totale dovuti alle due componenti della velocità.

La Forza Effettiva

Quanto abbiamo visto nel capitolo precedente è molto importante perché è l’energia cinetica della particella che decide l’intensità del campo magnetico necessaria per contenerla. Se ammettiamo che la particella non sta scambiando energia con il resto dell’universo, o che lo stia facendo molto lentamente al punto tale da poter trascurare gli scambi di energia (condizione di adiabaticità), allora si osserva che quando la particella passa in una zona dove varia l’intensità del campo magnetico varia anche la componente perpendicolare dell’energia cinetica (per compensare).

In questa condizione l’energia cinetica si conserva. Quindi la componente perpendicolare dell’energia cinetica può variare solo se assorbe dalla componente parallela. Quindi se il campo magnetico si fa molto intenso, la particella comincia a ruotare più velocemente, mentre la sua velocità di traslazione diminuisce. Se il campo magnetico diventa abbastanza intenso per l’energia cinetica della particella, allora tutta la velocità della particella diventa velocità di rotazione (vr). Ciò porta ad arrestare il suo moto traslatorio (vt = 0), per poi ripartire nella direzione opposta.

“It’s a Trap! “

Simulazione di una Bottiglia Magnetica. Il campo magnetico è generato da due spire, discretizzate come un insieme di punti. Il campo che sente la particella è la somma del contributo dato da ogni elementino di spira. In questo caso sono stati usati 50 elementi per ogni spira, per un totale di 100. In alto a sinistra sono riportati alcuni parametri chiave della simulazione, come posizione e velocità iniziale della particella, intensità di corrente, raggio delle spire e distanza dall’origine. Il moto è ricostruito integrando l’accelerazione subita dal protone nel tempo ricavando la velocità e traiettoria su un intervallo temporale di 5 secondi suddiviso in 5000 passi, riprodotto ad un sesto della sua velocità reale.

[la particella, cit]

A questo punto la particella torna indietro, e si comporterà in maniera del tutto analoga a come visto all’inizio fino a rimbalzare sull’altro collo di bottiglia, ripetendo il ciclo. Abbiamo effettivamente intrappolato la particella! Questo si traduce a livello dinamico come una forza che la particella sente e che dipende dalla sua velocità di traslazione, che prende nome di Forza Effettiva, ed agisce solo lungo la direzione di traslazione, parallela cioè al campo magnetico. Riassumendo, quello che noteremo è che rimbalzando da un polo all’altro, la velocità della particella in intensità è sempre la stessa. Cambia solo la sua direzione.

La Corrente di Deriva

Notiamo la presenza di un altro effetto: la particella trasla anche in direzione perpendicolare al campo magnetico, non rimane ancorata alla stessa linea del campo. Questo fenomeno è dovuto alla variazione dell’intensità del campo magnetico, che provoca la traslazione della particella. A causa della forma del campo magnetico (toroidale), la velocità di deriva da vita ad una vera e propria corrente elettrica. Nel caso delle fasce di Van Allen, la corrente di deriva contribuisce circa al 2% dell’intensità del campo magnetico terrestre.

Nella realtà la questione è più complessa perché le particelle elettricamente cariche non sono soggette solo a campi magnetici esterni. Infatti muovendosi, generano a loro volta un campo magnetico, influenzandosi a vicenda. Questo si riflette anche sulla loro traiettoria.

Questo è il meccanismo fisico che permette alle fasce di Van Allen di esistere. Vi mostro la simulazione che ho effettuato per questo articolo:

La simulazione avviene come sopra, ma impostando le spire ad una distanza molto inferiore, all’interno della Terra. In questo caso la simulazione avviene su 10 secondi suddivisi in 10000 istanti temporali. Non è stata eseguita sulla stessa scala di dimensione delle fasce di Van Allen, ma più piccola.

Simulazione

Prima di passare direttamente dalla teoria alla pratica si può passare per mezzo di una simulazione numerica! Che è alla base delle gif realizzate per questo articolo.
Prima vi ho parlato esplicitamente di Forza di Lorentz, del fatto che in condizioni adiabatiche la variazione dell’energia cinetica di rotazione della particella avviene a discapito o vantaggio della sua energia di traslazione e che questo può essere riassunto con la presenza della Forza Effettiva. Infine che è presente una velocità di deriva, a causa della variazione d’intensità del campo magnetico. Quindi immaginerete che il moto della particella è la risultante di 3 forze? Niente affatto!

In particolare in questa immagine si nota come sono inclinati i vettori Velocità(v), Campo Magnetico (B) e Forza di Lorentz(F) in diversi punti della bottiglia, rendendo evidente come la forza di Lorentz si possa scomporre nelle due componenti: la parallela all’asse fra le spire (che indica l’altezza della camera di confinamento) e la perpendicolare (che indica l’ampiezza della camera di confinamento).

Tutte le simulazioni che vedete sono state realizzate considerando campi magnetostatici prodotti da una coppia di spire percorsi da corrente. Nel caso della Terra, sono interne ad essa e poste molto vicine. La Forza di Lorentz è l’unica forza agente sulla particella. Infatti l’effetto della Forza Effettiva e della Corrente di Deriva, sono dirette conseguenze delle condizioni sopra citate (adiabaticità, natura vettoriale della Forza di Lorentz e la direzione del Campo Magnetico), nella risoluzione del moto.
Nello specifico in questo caso è stato usato un risolutore numerico basato su Metodo di Runge Kutta al Quarto Ordine.

Storia

Per applicazioni pratiche fu ideato per la prima volta negli anni ’50 sia da Gersh Budker, fisico sovietico dell’Istituto Kurčatov e sia da Richard F. Post del laboratorio Lawrence Livermore, come prima proposta per “imbottigliare” il plasma per gli esperimenti di Fusione Nucleare. E’ infatti alla base dei Tokamak e Stellarator.

Applicazioni

Alla fin fine è sempre una questione di Energia. Come abbiamo detto prima, questo è ciò che avviene SE la variazione di intensità del campo magnetico è abbastanza forte. E se non lo fosse? Le particelle riuscirebbero a scappare dal collo della bottiglia. Ciò ha delle ripercussioni pratiche molto interessanti:

1) ci fa capire che le fasce di Van Allen sono popolate di particelle al di sotto di una certa energia. Infatti sono suddivise in due fasce diverse di energia (la matrioska di bottiglie magnetiche che vi dicevo prima). A seconda dell’energia, le particelle vanno a disporsi a certe distanze dalla Terra, formando così due fasce. Una più interna, che si estende per poche migliaia di chilometri, ed una più esterna e più estesa. Nella prima sono presenti particelle più energetiche e veloci, fino a 30 MeV. Nella seconda particelle fino a 5 MeV, popolate rispettivamente da elettroni e protoni/elettroni.

2) ci permette di realizzare delle trappole per contenere particelle elettricamente cariche al di sotto di una certa energia. Oppure fare passare solo quelle con un’energia abbastanza elevata. Un esempio sono i dispositivi a Confinamento Magnetico studiati come reattori a Fusione Nucleare

3) è il motivo per cui nei dispositivi a Confinamento Magnetico, come tokamak, stellarator, per confinare plasmi più caldi (più energici), sono necessari campi magnetici più intensi. Il che richiede usare magneti superconduttori od il plasma stesso.

4) ci si può fare un ugello magnetico, che funziona in maniera del tutto analoga ad un ugello divergente dei propulsori a reazione, ma per un plasma. Vi starete chiedendo perché bisognerebbe fare una cosa del genere. Con il plasma oltre che essere tutto più interessante, si riuscirebbe ad aggirare alcuni limiti dovuti alla termodinamica di un gas neutro. Infatti volendo riscaldare un gas, più la temperatura iniziale sarà elevata, più sarà difficile scaldarlo a temperature maggiori. Dalla temperatura raggiunta prima di giungere nell’ugello dipende l’efficienza del propulsore. Questo è uno dei limiti nelle tecnologie in campo della propulsione spaziale che rende necessario l’uso di prese dinamiche preraffreddate negli esoreattori ipersonici per raggiungere velocità a numeri di Mach più elevati.

Approfondimenti

Per approfondire la natura del campo magnetico ripercorrendone un po’ anche la storia di come è evoluta la nostra comprensione di questo fenomeno, vi rimando a questo precedente articolo:

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